Et nytt blikk på perfekte tall
Når jeg tidligere har forsøkt å lete etter perfekte tall har jeg gått litt manuelt til verkst. Altså jeg har skrevet et lite program som tar for seg ett og ett tall fra 1 og for eksempel opp til 10 000. For hvert tall, leter programmet etter faktorene til tallet og summerer de. Blir summen nøyaktig det samme som tallet er det et perfekt tall, slik som faktorene til 6 = 1 + 2 + 3. Blir summen mindre kalles det underskuddstall og mer, overskuddstall.
Å la et dataprogram gjøre all regnejobben for meg er fornuftig, for det blir veldig tidkrevende å skulle gjøre det for hånd med penn og papir. Det ville nok ta flere generasjoner å komme opp til bare noen tusen eller hundretusener kan jeg tippe. En datamaskin gjør dette lynraskt. Men likevel, når tallene blir større, tar det også lang tid for en datamaskin. Jeg har ikke noen kvantemaskin tilgjengelig, og de har ikke kommet så langt med de ennå heller.
Så skjer det. Jeg kommer over noe noen har gjort for lenge siden. Faktisk for 2300 år siden. En mann ved navn Euclid viste en annen måte å gjøre dette på.
Hva? Nå tuller du Ørjan. De gamle forfedrene våre satt vel ikke å regnet på slike ting? De hadde verken datamaskiner eller var opptatt med sånt vel?
Joda, matematikere har i årtusener latt seg undre over systemer og tall. Å oppdage dette gjør meg glad innvendig. Jeg skjønner at jeg er i godt selskap når noen for 2300 år siden også lot seg fascinere av de samme tallene som jeg gjør i dag.
Å finne perfekte tall handler kanskje ikke så mye om direkte nytte, men om nysgjerrighet og oppdagelse. Det vekker en følelse av undring som har inspirert både amatører og profesjonelle matematikere årtusener.
Here the dead open the eyes of the living.
Et sitat over inngangsdøren til et bibliotek i Spania.
Jeg tenker på Euclid, den greske matematikeren som levde 300 år før Jesus gikk på jorden. Min nye oppdagelse var noe han skrev i sin samling Elements.
Euclid skrev at dersom [latex]2^n - 1[/latex] er mersenne primtall kan det brukes til å lage et perfekt tall med formelen:
[latex]2^{n-1} \cdot (2^n - 1)[/latex]
Så der min datamaskin må knele har Euclid hatt en mye raskere måte å finne frem til disse perfekte tallene på, 25 århundrer… Helt sykt! Snakker om eye-opening opplevelse.
Jeg la inn disse formlene i mitt program og mater det med en liste over de ti første mersenne primtallene, slik Euclid forklarer det. Tror du ikke maskinen nå spytter ut 14 perfekte tall på mindre enn ett sekund. Bare det å finne det femte tok for alltid med min datamaskin.
Listen viser primtallene sammen med de perfekte tallene de genererer:
Mersenne primtallPerfekt tall etter Euclids metode2632854967812813335503361785898690561913743869132831230584300813995212861265845599156983174465469261595384217689191561942608236107294793378084303638130997321548169216107131640364585696483372397534604587229102234723183869431177837281281271447401115466452442794637312608598848157367749147483588906635434913119915212852123562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976607141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
Takk Euclid.
Kilder: